Gia sư môn Toán » Thư viện Toán học

Bài: Cho đa thức P(x) ∈ Z[x], thỏa mãn tồn tại k nguyên sao cho: P(2009^k).P(2010^k) = 2011^k. Chứng minh đa thức này không có nghiệm nguyên.

Bài: Cho đa thức P(x) ∈ Z[x], thỏa mãn tồn tại k nguyên sao cho: P(2009^k).P(2010^k) = 2011^k. Chứng minh đa thức này không có nghiệm nguyên.

Giải

Giả sử P(x) có nghiệm nguyên là m, thì ta có: P(x) = (x – m)Q(x)

Ta có:

P(2009k) = (2009k – m).Q(2009k)

Và P(2010k) = (2010k – m).Q(2010k)

Do P(2009k).P(2010k) = 2011k nên P(2009k) và P(2010k) đều là những số lẻ.

Vậy (2009k – m) và (2010k – m) đều là số lẻ. Tuy nhiên, điều này là vô lý vì 2009k và 2010k có tính chẵn lẻ khác nhau nên (2009k – m) và (2010k – m) luôn có tính chẵn lẻ khác nhau.

Do đó, giả sử ban đầu là sai dẫn đến kết luận đa thức này không có nghiệm nguyên.

Mời các em theo dõi gia sư toán để đón đọc những cách giải khác ở những bài toán khác.

Twitter Delicious Facebook Digg Stumbleupon Wordpress Googlebuzz Myspace Gmail Newsvine Favorites More
You can leave a response.

Đóng góp ý kiến