Gia sư môn Toán » Luyện thi 9 lên 10

Phương trình Pi-ta-go

Phương Trình Pi-Ta-Go

X2 + Y2 = Z2 (1)

Ngay từ thời cổ đại, người ta đã biết rằng bộ ba số dương thỏa mãn phương trình (1) tương ứng với độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Dựa vào điều đó, người ta đã biết cách vẽ các đường vuông góc.

Dễ thấy phương trình (1) có ít nhất một nghiệm (x; y; z) = (3; 4; 5).

Để vẽ đường vuông góc với đường thẳng (d) tại điểm A thuộc (d) người ta lấy một đoạn thẳng MN nào đó và xác định điểm B trên (d) sao cho độ dài đoạn AB gấp 3 lần độ dài đoạn M. Lấy hai sợi dây, một sợi buộc tại A và có độ dài gấp 4 lần độ dài MN, sợi còn lại buộc tại B và có độ dài gấp 5 lần độ dài đoạn MN. Nối hai đầu còn lại của hai sợi dây với nhau và kéo căng cả hai sợi dây ta được tam giác vuông ABC.

Phương pháp trên được những người xây dựng kim tự tháp Ai Cập áp dụng từ hàng nghìn năm trước. Cơ sở của phương pháp này chính là định lý Pi-ta-go nổi tiếng. Người ta gọi các bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn (1) là bộ ba số Pi-ta-go.

Bây giờ ta đi xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1). Dễ thấy, nếu (x, y, z) = d thì bộ ba (x/d, y/d, z/d) cũng là một nghiệm của (1). Vì vậy, trước tiên ta đi tìm tất cả nghiệm nguyên dương của (1) thỏa mãn (x, y, z) = 1.

Vì (x, y, z) = 1 nên một trong hai ẩn x, y phải là số lẻ. Giả sử x là số lẻ. Khi đó, ta viết (1) dưới dạng: (z – y)(z + y) = x2

Giả sử (z – y, z + y) = d thì d\x nên d là số lẻ. Hơn nữa, d\(z – y + z + y) nên d\z. Tương tự d\(z + y – (z – y)) nên d\y. Vì (x, y, z) = 1 nên d = 1.

Suy ra z – y = m2 và z + y = n2 với m, n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và m < n. Từ đó ta có:

1

Vì x là số lẻ nên m và n là các số lẻ.

Vậy nghiệm tổng quát của (1) là:

1

 

Twitter Delicious Facebook Digg Stumbleupon Wordpress Googlebuzz Myspace Gmail Newsvine Favorites More
You can leave a response.

Đóng góp ý kiến